Resposta de Rodrigo da Cunha Pereira*: 
Com o falecimento, todo o patrimônio que pertencia ao de cujus, isto é, ao falecido, é inventariado para ser distribuído aos seus herdeiros.
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Uma vez quitadas todas as dívidas e obrigações, o saldo remanescente é transmitidos aos herdeiros na forma de herança.
As dívidas do falecido nunca serão transmitidas aos seus herdeiros. Cada herdeiro é responsável pelas dívidas, apenas no limite da herança que recebeu.
Agora, caso o valor da herança não seja suficiente para cobrir os débitos deixados pelo falecido, não é obrigação dos herdeiros quitarem o débito.
Em síntese, quem paga as dívidas do falecido, seja de cartão ou outra qualquer, é o próprio morto, nos limites do patrimônio que ele deixou para seus herdeiros.
*Rodrigo da Cunha Pereira é advogado, mestre e doutor em direito civil e presidente do Instituto Brasileiro do Direito da Família (IBDFAM).